Operasi pada Himpunan



         Himpunan memuat kumpulan objek – objek yang anggotanya terdefinisi dengan jelas. Perhatikan dua definisi untuk kelompok siswa dengan tinggi lebih dari 150 cm dan kelompok siswa berwajah cantik. Definisi pertama yaitu kelompok siswa dengan tinggi lebih dari 150 cm. Pernyataan tersebut memiliki definisi yang jelas. Semua siswa yang memiliki tinggi lebih dari 150 cm masuk dalam himpunan tersebut. Berikutnya, perhatikan definisi pernyataan kedua yaitu kelompok siswa berwajah cantik. Pernyataan tersebut tidak memiliki definisi yang jelas karena pengertian wajah cantik bersifat subjektif. Pernyataan pertama merupakan contoh himpunan, sedangkan definisi kedua bukan contoh himpunan. Mengapa? Alasannya ada pada pengertian himpunan. Pernyataan pertama memiliki anggota yang terdefinisi dengan jelas. Sedangkan pernyataan kedua tidak memiliki anggota dengan definisi yang jelas. Dua himpunan atau lebih ini dapat dioperasikan sehingga menghasilkan himpunan baru. Konsep ini kemudian dikenal sebagai operasi himpunan.

    Dua buah bilangan dapat dilakukan operasi yang menghasilkan nilai baru. Operasi tersebut diantaranya meliputi penjumlahan (+), pengurangan (–), perkalian (×), dan pembagian ( : ). Pada dua himpunan atau lebih juga dapat dilakukan yang dapat menghasilkan nilai baru. Pengertian dari operasi himpunan adalah operasi yang dikenakan terhadap himpunan. Operasi – operasi pada himpunan meliputi gabungan, irisan, komplemen, selisih, penjumlahan/beda setangkup, dan perkalian kartesian.

1. Gabungan dua himpunan

Operasi himpunan pertama yang akan kita bahas disini adalah gabungan. Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan A dan himpunan B, dimana anggota yang sama hanya ditulis satu kali.

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x|x ϵ A atau x ϵ B}

Contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

2. Irisan dua himpunan

Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan dari semua anggota himpunan A dan B yang sama. Dengan kata lain, himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, c, e, g, i}

Pada kedua himpunan tersebut ada tiga anggota yang sama, yaitu a, c, dan e. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah a, c, dan e atau ditulis dengan:
A ∩ B = {a, c, e}

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B.

3. Selisih Dua himpunan

Operasi himpunan berikutnya adalah selisih dua himpunan. Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan dari semua anggota himpunan A tetapi tidak dimiliki himpunan B.

A selisih B ditulis A-B = {x|x ϵ A atau x Ï B}

Contoh:
A = {a, b, c, d, e}
B = {a, c, e, g, i}
A-B = {b, d}

4. Komplemen

Komplemen dari A adalah himpunan semua elemen dari S yang tidak ada di himpunan A.

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x|x ϵ S atau x Ï A}
Contoh:
A= {1, 3, …, 9}
S = {bilangan ganjil kurang dari 20}
Ac = {11, 13, 15, 17, 19}

Contoh soal operasi himpunan
Jika diketahui A = {a, b, c, d, e} B = {a, c, e, g, i} C = {b, c, e, f, g}

Tentukanlah:
a. A ∩ B
b. A ∩ C
c. B ∪ C
d. A ∪ B ∪ C

Jawab:
a. A ∩ B = {a, c, e}
b. A ∩ C = {b, c, e}
c. B ∪ C = {a, b, c, e, f, g, i}
d. A ∪ B ∪ C = {a, b, c, d, e, f, g, i}